[이것이 취업을 위한 코딩 테스트다] 최단 경로(Shortest Path)

April 10, 2021 11 minute read

1. 최단 경로(Shortest Path) 알고리즘

특정 지점까지 가장 빠르게 도달하는 방법을 찾는 알고리즘(= 길 찾기 문제)
그래프(노드, 간선)를 이용하여 표현
출제 유형
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜 알고리즘, 벨만 포드 알고리즘
- 실제 문제에서는 특정 노드에서 다른 특정 노드까지의 최단 거리를 출력하도록 요청하는 편이다.

2. 종류

1) 다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 ‘각각의’ 최단 경로를 구하는 알고리즘
‘음의 간선’이 없을 때 정상적으로 동작
- 음의 간선 : 0보다 작은 값을 가지는 간선
GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 사용됨
가장 비용이 적은 노드를 선택해서 과정을 반복하기 때문에 그리디 알고리즘으로 분류됨

다익스트라 알고리즘의 원리

출발 노드 설정
최단 거리 테이블 초기화
- 출발 노드 까지의 거리는 0으로 초기화
- 나머지 노드 까지의 거리는 int(1e9)와 같은 무한으로 초기화
방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택(순차 탐색)
해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신(그리디 알고리즘의 성격)
3, 4 번 반복

특징

최단 경로를 구할 때 ‘각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리’ 정보를 항상 1차원 리스트(= 최단 거리 테이블)에 저장하며 리스트를 지속적으로 갱신
- 매번 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인
- 현재 처리하고 있는 노드와 인접 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면, 그 경로를 가장 짧은 경로로 판단함
한 단계당 하나의 노드에 대해서만 최단 거리를 확실하게 찾는다.

구현 방법

(1) 간단한 다익스트라 알고리즘

알고리즘을 그대로 구현하는 방법
구현하기 쉽지만 느리게 동작함
시간 복잡도 : $O(V^2), V = 노드 개수$
리스트를 사용하여 구현함
- 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트 선언
- 단계마다 ‘방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택’하기 위해 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)
입력 데이터의 수가 많아지므로 sys.std.readline()을 사용한다.
$V \le 5,000$ 에서만 적용 가능 (파이썬은 1초당 약 2천만번의 연산)

예

Dijkstra

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m = map(int, input().split()) 
# 6, 11 (노드 개수, 간선)

start = int(input()) 
# 1 (시작 노드)

graph = [[] for i in range(n+1)] # 노드 정보 리스트 생성

visited = [False] * (n + 1) # 방문 체크 리스트 생성

distance = [INF] * (n + 1) # 최단 거리 테이블 무한 초기화

for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split()) # a 노드에서 b 노드로 가는 비용 : c
    # 1 2 2
    # 1 3 5
    # 1 4 1
    # 2 3 3
    # 2 4 2
    # 3 2 3
    # 3 6 5
    # 4 3 3
    # 4 5 1
    # 5 3 1
    # 5 6 2
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    distance[start] = 0 # 시작 노드 초기화
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    for i in range(n-1): # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
        now = get_smallest_node() # 현재 가장 짧은 노드를 꺼내 방문 처리
        visited[now] = True

        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            if cost < distance[j[0]]: # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동한 거리가 더 짧은 경우(갱신)
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == INF: # 도달 불가능한 경우
        print("INFINITY")
    else: # 도달 가능한 경우
        print(distance[i])
# 0
# 2
# 3
# 1
# 2
# 4

(2) 개선된 다익스트라 알고리즘

최단 거리가 가장 짧은 노드를 기존 방법보다 더 빠르게 찾는 방법
현재 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 사용(최소 힙 기준)
구현하기 까다롭지만 빠르게 동작함
시간 복잡도 : $O(ElogV), V = 노드 개수, E = 간선 개수$
힙(Heap) 자료구조를 사용하여 구현함(현재 가장 가까운 노드 저장)

힙(Heap)

우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조

우선순위 큐(Priority Queue)

우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
라이브러리 : heapq(더 빠름), PriorityQueue
데이터를 ‘(가치 = 우선순위, 물건)’ 형태로 묶어서 우선순위 큐 자료구조에 넣음
내부적으로 최소 힙 또는 최대 힙을 기반으로 구현
- 최소 힙
  - 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제됨
  - 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 힙을 기반으로 함
- 최대 힙
  - 값이 큰 데이터가 먼저 삭제됨
  - 최소힙에서 우선순위에 (-)를 붙였다가 우선순위 큐에서 꺼낸 다음 다시 (-)를 붙여 원래 값으로 돌리는 방식으로 구현 가능
우선순위 큐는 리스트로 구현 가능 하나 큐로 구현하는 것이 더 빠르다.
- 데이터 개수가 N일 때, 데이터를 모두 넣고 다시 모두 꺼낸다면
  - 리스트 : $N \times \Big( O(1) + O(N) \Big) => O(N^2)$
  - 힙 : $N \times \Big( O(logN) + O(logN) \Big) => O(NlogN)$

예

# 다익스트라 알고리즘(Dijkstra)

# Heap을 이용한 방법 : 복잡 + 빠름
import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m = map(int, input().split()) 
# 6, 11 (노드 개수, 간선)

start = int(input()) 
# 1 (시작 노드)

graph = [[] for i in range(n+1)] # 노드 정보 리스트 생성

visited = [False] * (n + 1) # 방문 체크 리스트 생성

distance = [INF] * (n + 1) # 최단 거리 테이블 무한 초기화

for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split()) # a 노드에서 b 노드로 가는 비용 : c
    # 1 2 2
    # 1 3 5
    # 1 4 1
    # 2 3 3
    # 2 4 2
    # 3 2 3
    # 3 6 5
    # 4 3 3
    # 4 5 1
    # 5 3 1
    # 5 6 2
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, start)) # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정 후 큐 삽입
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        dist, now = heapq.heappop(q) # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        if distance[now] < dist: # 현재 노드가 이미 처리된 적 있다면 무시
            continue
        for i in graph[now]: # 현재 노드와 연결된 다른 인접 노드 확인
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]: # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == INF: # 도달 불가능한 경우
        print("INFINITY")
    else: # 도달 가능한 경우
        print(distance[i])
# 0
# 2
# 3
# 1
# 2
# 4

2) 플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall Algorithm)

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 구하는 알고리즘
단계마다 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행함
- 다익스트라 알고리즘 처럼 매번 방문하지 않은 노드 중 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없음
시간 복잡도 : $O(V^3), V = 노드 개수$

예 : 1번 노드에 대해 확인(노드 개수 : N)

1번노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려하면 됨
A -> 1번 노드 -> B 로 가는 비용 확인 후 최단거리 갱신
$_{N-1} P_2$ 개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인하면 됨

점화식

$D_{ab}\ =\ min(D_{ab},\ D_{ak}\ +\ D_{kb})$
두 비용 중 더 작은 값으로 갱신
- $D_{ab}\ :\ A에서\ B로\ 가는\ 최소\ 비용(바로\ 이동하는\ 거리)$
- $D_{ak}+D_{kb}\ :\ A에서\ K를\ 거쳐\ B로\ 가는\ 비용(노드를\ 거쳐\ 이동하는\ 거리)$

INF = int(1e9) # 10억

n = int(input()) 
# 4(노드 개수)

m = int(input()) 
# 7(간선 개수)

graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] # 2차원 리스트 무한 값으로 생성

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split()) # a에서 b로 가는 비용 : c
    graph[a][b] = c
# 1 2 4
# 1 4 6
# 2 1 3
# 2 3 7
# 3 1 5
# 3 4 4
# 4 3 2
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행 결과
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end= " ")
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()
# 0 4 8 6
# 3 0 7 9
# 5 9 0 4
# 7 11 2 0

3) Dijkstra vs Floyd-Warshall

	Dijkstra	Floyd-Warshall
사용 조건	한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우	모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단경로를 모두 구해야 하는 경우
동작 방식	1. 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택 2. 해당 노드를 거쳐가는 경로 확인 3. 최단 거리 테이블 갱신	1. 단계마다 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘 수행
리스트	1차원 리스트에 최단거리 저장	2차원 리스트에 최단 거리 저장
알고리즘 유형	그리디(Greedy)	다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)
시간 복잡도	$O(ElogV), V = 노드 개수, E = 간선 개수$	$O(V^3), V = 노드 개수$

3. 실전 문제

미래 도시

방문 판매원 A는 많은 회사가 모여 있는 공중 미래 도시에 있다. 공중 미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. 방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.

공중 미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서의 도로는 마하의 속도로 사람을 이동시켜주기 때문에 특정 회사와 다른 회사가 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.

또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다. 방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다. 따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표다.

이때 방문 판매원 A는 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다. 방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

이 때 소개팅의 상대방과 커피를 마시는 시간 등은 고려하지 않는다고 가정한다. 예를 들어 $N = 5,\ X = 4,\ K=5$이고 회사 간 도로가 7개면서 각 도로가 다음과 같이 연결되어 있을 때를 가정할 수 있다.

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (3, 5), (4, 5)

이 때 방문 판매원 A가 최종적으로 4번 회사에 가는 경로를 (1번 - 3번 - 5번 - 4번)으로 설정하면, 소개팅에도 참석할 수 있으면서 총 3만큼의 시간으로 이동할 수 있다. 따라서 이 경우 최소 이동시간은 3이다.

시간 제한 : 1초
메모리 제한 : 128MB
입력 조건
- 첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다($1 \le N,M \le 100$).
- 둘째 줄부터 $M+1$ 번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.
- $M+2$ 번째 줄에는 $X$와 $K$가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다($1 \le K \le 100$).

-> 최단 경로를 구하는 문제이다. N이 100 이하 이므로($O(V^3) = n=100^3=1,000,000$) 플로이드 워셜 알고리즘으로 풀어도 1초 이내에 문제를 풀 수 있다.

이것이 코딩테스트다 미래도시

INF = int(1e9) # 10억

n, m = map(int, input().split()) 
# 5, 7(노드 개수, 간선 개수)

graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] # 2차원 리스트 무한 값으로 생성

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    a, b = map(int, input().split()) 
    graph[a][b] = 1 # a에서 b로 가는 비용 : 1로 고정
    graph[b][a] = 1 # b에서 a로 가는 비용 : 1로 고정
# 1 2
# 1 3
# 1 4
# 2 4
# 3 4
# 3 5
# 4 5

# 거쳐갈 노드 K와 최종 목적지 노드 X 입력
x, k = map(int, input().split())
# 4 5

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행 결과 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]


if distance == INF:
    print("-1")
else:
    print(distance)
# 3

전보

어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다.

하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다. 예를 들어 X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통로가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.

어느 날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다. 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다.

각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데 까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.

시간 제한 : 1초
메모리 제한 : 128MB
입력 조건
- 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다.
  ($1 \le N \le 30,000,\ \ 1 \le M \le 200,000,\ \ 1 \le C \le N$)
- 둘째 줄 부터 M+1 번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 X, Y, Z가 주어진다. 이는 특정 도시 X에서 다른 특정 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며, 메시지가 전달되는 시간이 Z라는 의미다.
  ($1 \le X,Y \le N,\ \ 1 \le Z \le 1,000$)

-> N, M의 범위가 크므로 플로이드 워셜 알고리즘을 사용하면 $O(V^3) = 30000^3$이고 연산하는데 1,350,000 초가 걸린다.
따라서 다익스트라 알고리즘으로 풀어야하는 문제이다. $O(MlogN) = 200,000 log 30,000 = 4,200,000$

이것이 코딩테스트다 전보

import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m, start = map(int, input().split())
# 3 2 1 (노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드)

graph = [[] for i in range(n+1)] # 노드 연결 정보 리스트 생성

distance = [INF] * (n+1) # 최단거리 테이블 초기화

for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())    
    # 1 2 4
    # 1 3 2
    
    graph[x].append((y,z)) # x에서 y로 가는 비용 z
    
def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, start)) # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정 후 큐 삽입
    distance[start] = 0
    
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        dist, now = heapq.heappop(q) # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        if distance[now] < dist: # 현재 노드가 이미 처리된 적 있다면 무시
            continue
        for i in graph[now]: # 현재 노드와 연결된 다른 인접 노드 확인
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]: # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
                
dijkstra(start)

count = 0 # 도달할 수 있는 노드의 개수

max_distance = 0 # 도달할 수 있는 노드 중 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리

for d in distance:
    if d!= INF: # 도달할 수 없는 경우
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

print(count - 1, max_distance)
# 2 4 

Gilbert