[Practical Statistics] 추정(Estimation)

Estimation(추정)

모집단에서 추출된 표본의 특징을 파악하여 모수($\mu,\ \sigma^2$)을 유추하는 것

1. 추정의 종류

점추정(Point Estimation)

모수의 참값이 포함될 것으로 기대하는 하나의 값을 추정하는 것

• 추출되는 표본에 따라 오류가 발생할 가능성이 큼

구간추정(Interval Estimation)

모수의 참값이 포함될 것으로 기대하는 구간을 추정하는 것

• 하나의 값으로 추정하는 것 보다 구간으로 추정하는 것이 현실적

2. 신뢰구간(Interval Estimation)

모수의 참값이 포함될 것으로 기대하는 구간

95% 신뢰구간

• 모집단에서 n개의 표본추출을 여러번 실시하여 신뢰구간 추정 시
  그 결과들 중 약 95% 정도가 모평균을 포함할 수 있음을 의미함
  
• 100번 중 95번은 모평균이 추정된 구간에 포함될 수 있음

1) 모분산을 알고 있는 경우, 모평균 구간추정

$-Z_{\alpha/2} \le \cfrac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\cfrac{\sigma^2}{n}}} \le Z_{\alpha/2}$

2) 모분산을 모르는 경우, 모평균 구간 추정

$-t_{\alpha/2} \le \cfrac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\cfrac{S^2}{n-1}}} \le t_{\alpha/2}$

3) 모평균을 알고 있는 경우, 모분산 구간 추정

$\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i - \mu)^2}{\chi_{(\alpha/2)}^2 (n)} \le \sigma^2 \le \cfrac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i - \mu)^2}{\chi_{1-(\alpha/2)}^2 (n)}$

4) 모평균을 모르는 경우, 모분산 구간 추정

$\cfrac{(n-1)S^2}{\chi_{(\alpha/2)}^2 (n-1)} \le \sigma^2 \le \cfrac{(n-1)S^2}{\chi_{1-(\alpha/2)}^2 (n-1)}$

3. 신뢰수준(Confidence Level)

모수의 참값이 표본을 통해 구해지는 신뢰구간에 *존재할 확률

$ 1 - \alpha = 1 - 0.05 = 0.95$

• 신뢰수준에 따라 신뢰구간이 달라진다.
• 정밀도와 신뢰수준 사이의 적절한 균형 유지를 위해 일반적으로 신뢰수준 95%를 사용한다.

4. 유의수준(Significance Level)

모수의 참값이 표본을 통해 구해지는 신뢰구간에 존재하지 않을 확률

$\alpha = 0.05$